Задание 13. а) Решите уравнение

$$ \sqrt{x^3 - 4x^2 - 10 x + 29} = 3 - x $$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ -\sqrt{3}; \sqrt{30} \right]\).

Задание 14. В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) все рёбра равны 2. Точка \(M\) --- середина ребра \(AA_1\).

а) Докажите, что прямые \(MB\) и \(B_1C\) перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми \(MB\) и \(B_1C\).

Задание 15. Решите неравенство

$$ 3^{x^2} \cdot 5^{x-1} \geqslant 3. $$

Задание 16. В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) известны стороны и диагональ: \(AB=3\), \(BC = CD = 5\), \(AD = 8\), \(AC = 7\).

а) Докажите, что вокруг этого четырёхугольника можно описать окружность.

б) Найдите \(BD\).

Задание 17. В регионе \(A\) среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе \(B\) среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трёх лет суммарный доход жителей региона \(B\) увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на \(m%\) ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в регионах \(A\) и \(B\) стал одинаковым. Найдите \(m\).

Задание 18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений

$$ \left\{ \begin{aligned} & x^2 + y^2 = a^2 \\ & xy = a^2 - 3a \end{aligned} \right. $$

имеет ровно два различных решения?

Задание 19. а) Существуют ли двузначные натуральные числа \(m\) и \(n\) такие, что

$$ \left| \frac{m}{n} - \sqrt{2} \right| \leqslant \frac{1}{100}? $$

б) Существуют ли двузначные натуральные числа \(m\) и \(n\) такие, что

$$ \left| \frac{m^2}{n^2} - 2 \right| \leqslant \frac{1}{10000}? $$

в) Найдите все возможные значения натурального числа \(n\), при каждом из которых значение выражения

$$ \left| \frac{n+10}{n} - \sqrt{2} \right| $$

будет наименьшим.

Loading...