Задание 13. а) Решите уравнение $$ \cfrac{\sin x}{\sin^2 \cfrac{x}{2}} = 4 \cos^2 \frac{x}{2}. $$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[ -\dfrac{9 \pi}{2}; - 3 \pi \right]\).

Задание 14. Дана правильная четырёхугольная призма \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\). На ребре \(AA_1\) отмечена точка \(K\) так, что \(AK : KA_1 = 1:2\). Плоскость \(\alpha\) проходит через точки \(B\) и \(K\) параллельно прямой \(AC\). Эта плоскость пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(M\).

а) Докажите, что \(DM : MD_1 = 2:1 \).

б) Найдите площадь сечения, если \(AB=4\), \(AA_1 = 6\).

Задание 15. Решите неравенство $$ \cfrac{6^x - 4 \cdot 3^x}{x \cdot 2^x - 5 \cdot 2^x - 4x + 20} \leqslant \frac{1}{x-5}. $$

Задание 16. В треугольнике \(ABC\) угол \(B\) тупой, \(H\) --- точка пересечения высот, угол \(AHC\) равен \(60^\circ\).

а) Докажите, что угол \(ABC\) равен \(120^\circ\).

б) Найдите \(BH\), если \(AB=7\), \(BC=8\).

Задание 17. В июле 2018 года планируется взять кредит в банке. Условия его возврата таковы:

-- каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

-- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей необходимо взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырмя равными платежами, и банку будет выплачено 311 040 рублей?

Задание 18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система уравнений $$ \left\{ \begin{aligned} & \left( ( x+5)^2 + y^2 - a^2 \right) \ln \left( 9 - x^2- y^2 \right) = 0, \\ & \left( (x+5)^2 + y^2 - a^2 \right) (x+y-a+5) = 0 \end{aligned} \right. $$ имеет ровно два различных решения.

Задание 19. На доске написаны числа \(a_1, a_2, \ldots, a_n\), каждое из которых не меньше 50 и не больше 150. Каждое из чисел \(a_i\) уменьшили на \(r_i\%\) так, что либо \(r_i = 2\), либо число \(a_i\) уменьшилось на 2.

а) Может ли среднее арифметическое чисел \(r_i\) быть равным 5?

б) Могло ли так получиться, что среднее арифметическое чисел \(r_i\) больше 2, и при этом сумма чисел \(a_i\) уменьшилась более чем на \(2n\)?

в) Пусть \(n=30\), а после выполнения описанной операции их сумма уменьшилась на 40. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел \(r_i\).

Loading...