Задание 13. а) Решите уравнение \( 8^x - 9 \cdot 2^{x+1} + 2^{5-x} = 0\);

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \( \left[ \log_5 2 ; \log_5 20 \right] \).

Задание 14. Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1 B_1 C_1 D_1\) плоскостью \(\alpha\), содержащей прямую \(BD_1\) и параллельной прямой \(AC\) является ромб.

а) Докажите, что \(ABCD\) - квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_1\), если \(AA_1=6\), \(AB=4\).

Задание 15. Решите неравенство: $$ \log_{2}^{2} \left( 25 - x^2 \right) - 7 \log_2 \left(25 - x^2 \right) + 12 \geq 0. $$

Задание 16. В треугольнике \(ABC\) точки \(A_1\), \(B_1\) и \(C_1\) --- середины сторон \(BC\), \(AC\) и \(AB\) соответственно, \(AH\) --- высота, \(\angle BAC = 60^\circ\), \(\angle BCA = 45^\circ\).

а) Докажите, что точки \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) и \(H\) лежат на одной окружности.

б) Найдите \(A_1 H\), если \(BC=2 \sqrt{3}\).

Задание 17. Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят \(t^2\) тыс. рублей в конце года \(t\) (\(t=1;2;\ldots\)). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в \((1+r)\) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях \(r\) это возможно?

Задание 18. Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых система неравенств $$ \left\{ \begin{aligned} a x & \geq 2 , \\ \sqrt{x-1} & > a , \\ 3x & \leq 2a + 11. \end{aligned} \right. $$ имеет хотя бы одно решение на отрезке \([3;4]\).

Задание 19. На доске написано несколько различных натуральных чисел, произведение любых двух из которых больше 40 и меньше 100.

а) Может ли на доске быть 5 чисел?

б) Может ли на доске быть 6 чисел?

в) Какое наибольшее значение может принимать сумма таких чисел на доске, если их четыре?

Loading...